قانون فاراداي

ثلاث محاكيات لمواقف كلاسيكية في الحث الكهرومغناطيسي. (1) حلقة مستطيلة تدخل منطقة فيها مجال مغناطيسي وتخرج منها، يسحبها محرك أو تُسحب بالفأرة. (2) ملف ومغناطيس أسطواني يقتربان ويعبر أحدهما الآخر. (3) التيار في الملف 1، الذي يُتحكم فيه بمفتاح ومقاومة متغيرة ومصدر مستمر أو متردد، يولّد تيارًا مستحثًا في الملف 2. لاحظ في كل منها التدفق المغناطيسي، والقوة الدافعة الكهربائية المستحثة، واتجاه التيار (قانون لنز)، والقوة المغناطيسية التي تكبح الحركة، وموازنة الطاقة.

نظام شبه سكوني (الأبعاد أصغر بكثير من الطول الموجي)، يتحقق فيه قانون فاراداي، $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$، تمامًا. في كل خطوة زمنية تُحل معًا معادلة الدارة ($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$) ومعادلة الحركة ($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$، حيث $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$) بطريقة النقطة الوسطى الضمنية، التي تحفظ موازنة الطاقة تمامًا؛ ومن هنا ينتج قانون لنز وحفظ الطاقة، من دون أي منحنى جاهز.

حلقة في المجال: التدفق هو تكامل $B$ على مساحة الحلقة؛ ويُحسب الحث الذاتي من صيغة غروفر للمستطيل. يمكن أن يتغير المجال مع الزمن (مغناطيس كهربائي يتبع القيمة المختارة بثابت زمني قدره 0.5 s): عندئذ تتضمن القوة الدافعة الكهربائية أيضًا الحد $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$، ويظهر شغل مصدر المجال في موازنة الطاقة.

مغناطيس وملف: المغناطيس الممغنط بانتظام يكافئ ملفًا لولبيًا يحمل تيارًا سطحيًا $K = M = B_r/\mu_0$. التدفق عبر الملف هو مجموع، بالتربيع العددي، معاملات الحث المتبادل بين لفات متحدة المحور، المعطاة بتكاملات إهليلجية تامة؛ وتُرسم خطوط المجال بتكامل المجال الدقيق للأسطوانة (Derby وOlbert).

ملفان: $L_1$ من صيغة ناغاوكا، و$L_2$ من صيغة ماكسويل للملف القصير، و$M$ من التربيع نفسه للتكاملات الإهليلجية. المعادلتان $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ و$0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$، حيث $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$ و$\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$، تُكاملان تمامًا في كل خطوة (أُسّي المصفوفة). عندما يكون المفتاح مفتوحًا، تُنمذج الدارة 1 بمقاومة قدرها 10 kΩ (الشرارة). يجري الزمن في هذه المحاكاة بالحركة البطيئة، لأن الثوابت الزمنية $L/R$ من رتبة الميلي ثانية.

LED: ثنائي اللون وبلا قطبية (صمامان على التوازي بعكس بعضهما، أحمر وأخضر)، مع مقاومة على التوالي. تتبع كل وصلة معادلة شوكلي، $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$، مضافًا إليها مقاومة داخلية؛ جهد التوصيل نحو 1.8 V (أحمر) و2.0 V (أخضر)، والضوء المنبعث يتناسب مع التيار. تصبح الدارة غير خطية: في المحاكاتين 1 و2 يُحسب التيار في كل خطوة بحل معادلة الصمام الثنائي (يُهمل الحث، لأن $L/R$ أصغر بكثير من مدة النبضات)؛ وفي المحاكاة 3 تُكامل معادلات الملفين بطريقة TR-BDF2.

Marco P. M. de Souza