Faradaysches Gesetz

Drei Simulationen klassischer Situationen der elektromagnetischen Induktion. (1) Eine rechteckige Leiterschleife tritt in einen Bereich mit Magnetfeld ein und wieder aus, gezogen von einem Motor oder mit der Maus. (2) Eine Spule und ein zylindrischer Magnet nähern sich und durchdringen einander. (3) Der Strom in Spule 1, gesteuert durch einen Schalter, einen Schiebewiderstand und eine Gleich- oder Wechselspannungsquelle, induziert einen Strom in Spule 2. Beobachte in allen Fällen den magnetischen Fluss, die induzierte elektromotorische Kraft, die Stromrichtung (lenzsche Regel), die magnetische Kraft, die die Bewegung bremst, und die Energiebilanz.

Quasistatischer Bereich (Abmessungen viel kleiner als die Wellenlänge), in dem das faradaysche Gesetz, $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, exakt gilt. In jedem Zeitschritt werden der Stromkreis ($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$) und die Bewegung ($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$, mit $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$) gekoppelt gelöst, mit der impliziten Mittelpunktregel, die die Energiebilanz exakt erhält; daraus ergeben sich die lenzsche Regel und die Energieerhaltung, ohne vorgefertigte Kurve.

Schleife im Feld: Der Fluss ist das Integral von $B$ über die Fläche der Schleife; die Selbstinduktivität stammt aus der Formel von Grover für ein Rechteck. Das Feld kann sich zeitlich ändern (ein Elektromagnet, der dem gewählten Wert mit einer Zeitkonstante von 0,5 s folgt): Die EMK enthält dann auch den Anteil $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$, und die Arbeit der Feldquelle erscheint in der Energiebilanz.

Magnet und Spule: Der gleichmäßig magnetisierte Magnet entspricht einer Spule mit dem Flächenstrom $K = M = B_r/\mu_0$. Der Fluss durch die Spule ist die Summe, per numerischer Quadratur, der Gegeninduktivitäten zwischen koaxialen Windungen, gegeben durch vollständige elliptische Integrale; die Feldlinien werden durch Integration des exakten Feldes des Zylinders gezeichnet (Derby und Olbert).

Zwei Spulen: $L_1$ nach der Formel von Nagaoka, $L_2$ nach der von Maxwell für kurze Spulen und $M$ mit derselben Quadratur elliptischer Integrale. Die Gleichungen $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ und $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$, mit $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$ und $\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$, werden in jedem Schritt exakt integriert (Matrixexponential). Bei offenem Schalter wird Stromkreis 1 durch einen Widerstand von 10 kΩ modelliert (der Funke). Die Zeit dieser Simulation läuft in Zeitlupe, da die Zeitkonstanten $L/R$ im Millisekundenbereich liegen.

LED: zweifarbig und ohne Polarität (zwei antiparallele LEDs, rot und grün), mit einem Vorwiderstand. Jeder Übergang folgt der Shockley-Gleichung, $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$, plus einem Innenwiderstand; die Durchlassspannung beträgt etwa 1,8 V (rot) und 2,0 V (grün), und das abgegebene Licht ist proportional zum Strom. Der Stromkreis wird nichtlinear: In den Simulationen 1 und 2 wird der Strom in jedem Schritt durch Lösen der Diodengleichung bestimmt (die Induktivität wird vernachlässigt, da $L/R$ viel kleiner als die Dauer der Pulse ist); in Simulation 3 werden die Spulengleichungen mit dem TR-BDF2-Verfahren integriert.

Marco P. M. de Souza