Diese Simulation modelliert das Phänomen des Photonenechos in einem Gas aus Atomen. Jede kleine Kugel stellt eine Gruppe von Atomen mit einer bestimmten Geschwindigkeit dar.
Wir wissen, dass jede Gruppe aufgrund der Doppler-Verschiebung des Lichts unterschiedlich mit den Laserpulsen interagiert.
Sobald es angeregt ist, verhält sich jedes Atom wie ein elektrischer Dipol und schwingt mit einer bestimmten Frequenz.
Die Schwingungszyklen werden in der Simulation durch die Grauskala dargestellt, wobei wir von Weiß nach Schwarz eine Variation von $2\pi$ im Zyklus haben.
Das Atomgas wird durch eine Folge von Laserpulsen mit einer durch definierten Fläche angeregt
$
\theta = \dfrac{\mu_{12}}{\hslash}\int_{-\infty}^{\infty} E_0(t)dt,
$
wobei $\mu_{12} = \left\langle 1 | e\hat{r} | 2 \right\rangle$ ist das elektronische Übergangsmatrixelement und $E_0$
ist die Einhüllende des Lichtimpulses.
In der Standard-Photonenechokonfiguration verlässt der erste Impuls mit der Fläche $\pi/2$ das Gas mit maximaler Kohärenz.
Im Laufe der Zeit führt die Dekohärenz aufgrund der Doppler-Verbreiterung dazu, dass die Polarisation in einer Halbwertszeit von zurückgesetzt wird
$1/\Delta_D$, wobei $\Delta_D$ die Doppler-Breite ist.
Der zweite Impuls mit der Fläche $\pi$ kehrt die Dekohärenz um,
Bewirken, dass die Probe nach einer Zeit, die dem Zeitintervall der einfallenden Impulse entspricht, einen Impuls erzeugt.
Die Polarisationsberechnung ist gegeben durch
$
P(t) = \eta\mu_{12}\int_{-\infty}^{\infty} \text{Re} [\rho_{12}(t)]g(\delta)d(\delta),
$
wobei $\eta$ die Atomdichte ist, $g$ die Maxwell-Bolztamn-Geschwindigkeitsverteilung ist,
$\delta$ ist die Doppler-Verschiebung und $\rho_{12}$ ist eines der Elemente der Dichtematrix, deren Entwicklung
wird durch Lösen der Liouville-von-Neumann-Gleichung berechnet:
$
\dfrac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = -\dfrac{i}{\hslash} \left[ \hat{H}, \hat{\rho} \right].
$
$\hat{H}$ ist der Hamiltonoperator eines Zweiniveausystems in der elektrischen Dipolnäherung.
Um die Berechnungen zu vereinfachen, gehen wir von Impulsen mit rechteckiger Einhüllender aus, was die Lösung der Bloch-Gleichungen erheblich vereinfacht, praktisch ohne die Polarisationsentwicklung zu verändern.
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