Ley de Faraday

Tres simulaciones de situaciones clásicas de inducción electromagnética. (1) Una espira rectangular entra y sale de una región con campo magnético, tirada por un motor o arrastrada con el ratón. (2) Una bobina y un imán cilíndrico se acercan y se atraviesan. (3) La corriente en la bobina 1, controlada por un interruptor, un reóstato y una fuente continua o alterna, induce corriente en la bobina 2. En todas, observa el flujo magnético, la fuerza electromotriz inducida, el sentido de la corriente (ley de Lenz), la fuerza magnética que frena el movimiento y el balance de energía.

Régimen cuasiestático (dimensiones mucho menores que la longitud de onda), en el que la ley de Faraday, $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, vale exactamente. En cada paso de tiempo se resuelven, de forma acoplada, el circuito ($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$) y el movimiento ($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$, con $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$), mediante el método del punto medio implícito, que conserva exactamente el balance de energía; de ahí salen la ley de Lenz y la conservación de la energía, sin ninguna curva predefinida.

Espira en el campo: el flujo es la integral de $B$ sobre el área de la espira; la autoinductancia proviene de la fórmula de Grover para un rectángulo. El campo puede variar en el tiempo (un electroimán que sigue el valor elegido con una constante de tiempo de 0,5 s): la fem tiene entonces también el término $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$, y el trabajo de la fuente del campo aparece en el balance de energía.

Imán y bobina: el imán uniformemente magnetizado equivale a un solenoide con corriente superficial $K = M = B_r/\mu_0$. El flujo a través de la bobina es la suma, por cuadratura numérica, de las inductancias mutuas entre espiras coaxiales, dadas por integrales elípticas completas; las líneas de campo se trazan integrando el campo exacto del cilindro (Derby y Olbert).

Dos bobinas: $L_1$ por la fórmula de Nagaoka, $L_2$ por la de Maxwell para bobina corta y $M$ por la misma cuadratura de integrales elípticas. Las ecuaciones $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ y $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$, con $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$ y $\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$, se integran de forma exacta en cada paso (exponencial de matriz). Con el interruptor abierto, el circuito 1 se modela con una resistencia de 10 kΩ (la chispa). El tiempo de esta simulación corre a cámara lenta, porque las constantes de tiempo $L/R$ son de milisegundos.

LED: bicolor y sin polaridad (dos LED en antiparalelo, rojo y verde), con un resistor en serie. Cada unión sigue la ecuación de Shockley, $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$, más una resistencia interna; la tensión de conducción es de cerca de 1,8 V (rojo) y 2,0 V (verde) y la luz emitida es proporcional a la corriente. El circuito se vuelve no lineal: en las simulaciones 1 y 2 la corriente se obtiene en cada paso resolviendo la ecuación del diodo (la inductancia se desprecia, pues $L/R$ es mucho menor que la duración de los pulsos); en la simulación 3 las ecuaciones de las bobinas se integran con el método TR-BDF2.

Marco P. M. de Souza