قانون فارادی

سه شبیه‌سازی از موقعیت‌های کلاسیک القای الکترومغناطیسی. (1) یک حلقهٔ مستطیلی، که موتور آن را می‌کشد یا با ماوس کشیده می‌شود، وارد ناحیه‌ای با میدان مغناطیسی می‌شود و از آن خارج می‌شود. (2) یک سیم‌پیچ و یک آهنربای استوانه‌ای به هم نزدیک می‌شوند و از درون هم می‌گذرند. (3) جریان سیم‌پیچ 1، که با یک کلید، یک رئوستا و یک منبع مستقیم یا متناوب کنترل می‌شود، در سیم‌پیچ 2 جریان القا می‌کند. در همهٔ آن‌ها شار مغناطیسی، نیروی محرکهٔ الکتریکی القایی، جهت جریان (قانون لنز)، نیروی مغناطیسی‌ای که حرکت را ترمز می‌کند و ترازنامهٔ انرژی را ببینید.

رژیم شبه‌ایستا (ابعاد بسیار کوچک‌تر از طول موج)، که در آن قانون فارادی، $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$، دقیقاً برقرار است. در هر گام زمانی، مدار ($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$) و حرکت ($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$، که در آن $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$) با هم و با روش نقطهٔ میانی ضمنی حل می‌شوند، که ترازنامهٔ انرژی را دقیقاً حفظ می‌کند؛ قانون لنز و پایستگی انرژی از همین‌جا به دست می‌آیند، بدون هیچ منحنی ازپیش‌آماده‌ای.

حلقه در میدان: شار، انتگرال $B$ روی مساحت حلقه است؛ خودالقایی از فرمول گروور برای مستطیل به دست می‌آید. میدان می‌تواند با زمان تغییر کند (آهنربای الکتریکی‌ای که مقدار انتخاب‌شده را با ثابت زمانی 0.5 s دنبال می‌کند): آنگاه نیروی محرکهٔ الکتریکی جملهٔ $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$ را هم دارد و کار منبع میدان در ترازنامهٔ انرژی ظاهر می‌شود.

آهنربا و سیم‌پیچ: آهنربایی که به‌طور یکنواخت مغناطیده شده، هم‌ارز سیملوله‌ای با جریان سطحی $K = M = B_r/\mu_0$ است. شار گذرنده از سیم‌پیچ، مجموع القاییدگی‌های متقابل میان دورهای هم‌محور است که با انتگرال‌های بیضوی کامل داده می‌شوند و با انتگرال‌گیری عددی جمع می‌شوند؛ خط‌های میدان با انتگرال‌گیری از میدان دقیق استوانه رسم می‌شوند (Derby و Olbert).

دو سیم‌پیچ: $L_1$ با فرمول ناگائوکا، $L_2$ با فرمول ماکسول برای سیم‌پیچ کوتاه و $M$ با همان انتگرال‌گیری عددی انتگرال‌های بیضوی. معادله‌های $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ و $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$، با $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$ و $\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$، در هر گام به‌طور دقیق انتگرال‌گیری می‌شوند (نمایی ماتریس). وقتی کلید باز است، مدار 1 با مقاومتی 10 kΩ (جرقه) مدل می‌شود. چون ثابت‌های زمانی $L/R$ در حد میلی‌ثانیه‌اند، زمان در این شبیه‌سازی آهسته می‌گذرد.

LED: دورنگ و بدون قطب (دو LED وارون موازی، قرمز و سبز)، با یک مقاومت سری. هر پیوندگاه از معادلهٔ شاکلی، $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$، به‌اضافهٔ یک مقاومت درونی پیروی می‌کند؛ ولتاژ رسانش حدود 1.8 V (قرمز) و 2.0 V (سبز) است و نور گسیل‌شده با جریان متناسب است. مدار غیرخطی می‌شود: در شبیه‌سازی‌های 1 و 2 جریان در هر گام با حل معادلهٔ دیود به دست می‌آید (از القاییدگی چشم‌پوشی می‌شود، چون $L/R$ بسیار کوچک‌تر از مدت تپ‌هاست)؛ در شبیه‌سازی 3 معادله‌های سیم‌پیچ‌ها با روش TR-BDF2 انتگرال‌گیری می‌شوند.

Marco P. M. de Souza