Brachistochrone

Ce simulateur permet d’étudier numériquement le problème classique de la brachistochrone : déterminer la trajectoire suivant laquelle une particule, soumise uniquement à une pesanteur uniforme et partant du repos, met le moins de temps pour aller d’un point A à un point B.

La trajectoire de durée minimale est une cycloïde décrite par les équations paramétriques $$x(\theta)=R(\theta-\sin\theta)$$ et $$y(\theta)=R(1-\cos\theta),$$ où $R$ est le rayon générateur et $\theta$ décrit le mouvement le long de la courbe.

Faites glisser le point B et les points de contrôle verts 1 et 2 pour modifier la trajectoire. Activez « Brachistochrone » pour afficher la cycloïde théorique de durée minimale et utilisez les exemples pour comparer la droite, la brachistochrone approchée et la tautochrone approchée.

La courbe résout un problème variationnel : parmi toutes les trajectoires possibles reliant les deux points, la cycloïde minimise le temps de parcours — elle est même plus rapide que la ligne droite, qui ne minimise que la distance. La simulation permet de comparer le temps de descente le long de la cycloïde à celui obtenu avec d’autres courbes candidates.

Marco P. M. de Souza