Loi de Faraday

Trois simulations de situations classiques d’induction électromagnétique. (1) Une spire rectangulaire entre dans une région de champ magnétique et en sort, tirée par un moteur ou déplacée avec la souris. (2) Une bobine et un aimant cylindrique se rapprochent et se traversent. (3) Le courant dans la bobine 1, commandé par un interrupteur, un rhéostat et un générateur continu ou alternatif, induit un courant dans la bobine 2. Dans tous les cas, observez le flux magnétique, la force électromotrice induite, le sens du courant (loi de Lenz), la force magnétique qui freine le mouvement et le bilan d’énergie.

Régime quasi statique (dimensions bien plus petites que la longueur d’onde), dans lequel la loi de Faraday, $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, est exactement valable. À chaque pas de temps, on résout de façon couplée le circuit ($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$) et le mouvement ($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$, avec $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$), par la méthode du point milieu implicite, qui conserve exactement le bilan d’énergie ; la loi de Lenz et la conservation de l’énergie en découlent, sans aucune courbe toute faite.

Spire dans le champ : le flux est l’intégrale de $B$ sur l’aire de la spire ; l’auto-inductance vient de la formule de Grover pour un rectangle. Le champ peut varier dans le temps (un électroaimant qui suit la valeur choisie avec une constante de temps de 0,5 s) : la fém comporte alors aussi le terme $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$, et le travail de la source du champ apparaît dans le bilan d’énergie.

Aimant et bobine : l’aimant uniformément aimanté équivaut à un solénoïde parcouru par un courant surfacique $K = M = B_r/\mu_0$. Le flux à travers la bobine est la somme, par quadrature numérique, des inductances mutuelles entre spires coaxiales, données par des intégrales elliptiques complètes ; les lignes de champ sont tracées en intégrant le champ exact du cylindre (Derby et Olbert).

Deux bobines : $L_1$ par la formule de Nagaoka, $L_2$ par celle de Maxwell pour une bobine courte et $M$ par la même quadrature d’intégrales elliptiques. Les équations $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ et $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$, avec $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$ et $\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$, sont intégrées de façon exacte à chaque pas (exponentielle de matrice). Interrupteur ouvert, le circuit 1 est modélisé par une résistance de 10 kΩ (l’étincelle). Le temps de cette simulation s’écoule au ralenti, car les constantes de temps $L/R$ sont de l’ordre de la milliseconde.

LED : bicolore et sans polarité (deux LED en antiparallèle, rouge et verte), avec une résistance en série. Chaque jonction suit l’équation de Shockley, $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$, plus une résistance interne ; la tension de seuil est d’environ 1,8 V (rouge) et 2,0 V (vert) et la lumière émise est proportionnelle au courant. Le circuit devient non linéaire : dans les simulations 1 et 2, le courant est obtenu à chaque pas en résolvant l’équation de la diode (l’inductance est négligée, car $L/R$ est bien plus petit que la durée des impulsions) ; dans la simulation 3, les équations des bobines sont intégrées par la méthode TR-BDF2.

Marco P. M. de Souza