Marche aléatoire

Simulation de la marche aléatoire d’une ou de plusieurs particules en deux dimensions. À chaque pas, la particule se déplace dans l’une des quatre directions — haut, bas, gauche ou droite — choisie au hasard avec une probabilité de 25 % pour chacune.

Dans le mode standard, une seule particule se déplace continuellement sur le canevas depuis le centre en laissant une trace. Le bouton « Générer les positions finales » (panneau « Paramètres ») calcule en une fois la position finale de N particules après un nombre fixé de pas et n’affiche que les points d’arrivée ; cliquer sur « Démarrer » depuis ce mode rétablit la particule unique. Le panneau « Graphique » présente l’histogramme de la position horizontale des particules générées.

À chaque pas, la particule parcourt une distance fixe $\ell$ (paramètre « Taille du pas ») dans l’une des quatre directions choisie au hasard, sans mémoire des pas précédents. Après $N_{pas}$ pas, le déplacement quadratique moyen d’un ensemble de particules croît linéairement avec le nombre de pas, $$ \langle r^2 \rangle = N_{passos}\,\ell^2, $$ ce qui caractérise un processus diffusif. L’histogramme du panneau « Graphique » montre la distribution de la position horizontale finale des $N$ particules générées ; lorsque $N_{pas}$ augmente, elle tend vers une distribution gaussienne centrée sur l’origine (théorème central limite).

Marco P. M. de Souza