Brachistocrona

Questo simulatore consente di studiare numericamente il classico problema della brachistocrona: determinare la traiettoria lungo la quale una particella, soggetta soltanto a gravità uniforme e inizialmente ferma, impiega il minor tempo per andare da un punto A a un punto B.

La traiettoria di tempo minimo è una cicloide, descritta dalle equazioni parametriche $$x(\theta)=R(\theta-\sin\theta)$$ e $$y(\theta)=R(1-\cos\theta),$$ dove $R$ è il raggio generatore e $\theta$ descrive il movimento lungo la curva.

Trascina il punto B e i punti di controllo verdi 1 e 2 per modificare la traiettoria. Attiva “Brachistocrona” per visualizzare la cicloide teorica di tempo minimo e usa gli esempi per confrontare la retta, la brachistocrona approssimata e la tautocrona approssimata.

La curva è la soluzione di un problema variazionale: tra tutte le traiettorie possibili che collegano i due punti, la cicloide è quella che minimizza il tempo di percorrenza — ed è persino più rapida della retta, che minimizza soltanto la distanza. La simulazione consente di confrontare il tempo di discesa lungo la cicloide con quello di altre curve candidate.

Marco P. M. de Souza