Conservazione dell’energia meccanica

Simulazione interattiva della conservazione dell’energia meccanica, che consente di esplorare il moto di una particella lungo una traiettoria con fino a tre livelli di altezza, con attrito e molla facoltativi, osservando lo scambio tra energia cinetica, potenziale gravitazionale e potenziale elastica.

Il sistema è modellato mediante la meccanica lagrangiana, con la particella vincolata alla traiettoria y(x). L’energia cinetica dipende dalla pendenza della curva, T = (1/2)mẋ²[1+y'(x)²], mentre l’energia potenziale somma i termini gravitazionale ed elastico — quest’ultimo attivo soltanto quando l’oggetto è a contatto con la molla, mediante una funzione gradino di Heaviside. Le equazioni di Euler-Lagrange producono un’equazione differenziale non lineare del secondo ordine, priva di soluzione analitica esatta, che la simulazione riscrive come un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine (posizione e velocità).

L’attrito dinamico è incluso fenomenologicamente, con modulo costante μc·m·g sempre opposto alla velocità e limitato alla regione centrale piana della traiettoria mediante una funzione rettangolare (Pi di Heaviside). Il sistema completo viene integrato numericamente con il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine, usando un passo temporale proporzionale al parametro "Veloc. simulazione" — l’errore numerico è dell’ordine dello 0,025% nella configurazione predefinita.

Marco P. M. de Souza, Cristiane M. Oliveira, Rhakny P. Peixoto