Eco di fotoni

Simulazione del fenomeno dell’eco di fotoni in un gas di atomi a due livelli. Ogni punto sul canvas rappresenta un gruppo di atomi con una determinata velocità, e quindi un diverso spostamento Doppler; la tonalità di grigio di ciascuno codifica la fase di oscillazione del suo dipolo elettrico, dal bianco al nero lungo un ciclo di $2\pi$.

I pulsanti "Impulso 1"/"Impulso 2" (pannello "Impulsi luminosi") attivano ciascun impulso luminoso, con area definita dai cursori θ₁/θ₂. Il pannello "Sistema atomico" regola la larghezza della distribuzione Doppler (Δ_D), la risoluzione temporale (Δt) e il tempo di decoerenza (T₁₂). Il pannello "Grafico" mostra il quadrato della polarizzazione (il segnale di eco) in funzione del tempo.

Il gas atomico viene eccitato da una sequenza di impulsi luminosi, ciascuno con area definita da $$ \theta = \frac{\mu_{12}}{\hslash}\int_{-\infty}^{\infty} E_0(t)dt, $$ dove $\mu_{12} = \left\langle 1 | e\hat{r} | 2 \right\rangle$ è l’elemento di matrice della transizione elettronica ed $E_0$ è l’inviluppo dell’impulso luminoso. Nella configurazione standard dell’eco di fotoni, il primo impulso, di area $\pi/2$, lascia il gas con coerenza massima. Nel tempo, la decoerenza dovuta all’allargamento Doppler annulla la polarizzazione in un tempo di dimezzamento pari a $1/\Delta_D$. Il secondo impulso, di area $\pi$, inverte la decoerenza, facendo emettere al campione un impulso luminoso (l’eco) dopo un intervallo uguale a quello tra i due impulsi incidenti. La polarizzazione è calcolata da $$ P(t) = \eta\mu_{12}\int_{-\infty}^{\infty} \text{Re}\left[\rho_{12}(t)\right] g(\delta)\, d\delta, $$ dove $\eta$ è la densità atomica, $g$ è la distribuzione delle velocità di Maxwell-Boltzmann, $\delta$ è lo spostamento Doppler e $\rho_{12}$ è uno degli elementi della matrice densità, la cui evoluzione è descritta dall’equazione di Liouville-von Neumann $$ \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = -\frac{i}{\hslash}\left[\hat{H}, \hat{\rho}\right]. $$ $\hat{H}$ è l’hamiltoniana di un sistema a due livelli nell’approssimazione di dipolo elettrico, con impulsi a inviluppo rettangolare.

Marco P. M. de Souza