Legge di Faraday

Tre simulazioni di situazioni classiche di induzione elettromagnetica. (1) Una spira rettangolare entra ed esce da una regione con campo magnetico, tirata da un motore o trascinata con il mouse. (2) Una bobina e un magnete cilindrico si avvicinano e si attraversano. (3) La corrente nella bobina 1, controllata da un interruttore, un reostato e un generatore continuo o alternato, induce corrente nella bobina 2. In tutte, osserva il flusso magnetico, la forza elettromotrice indotta, il verso della corrente (legge di Lenz), la forza magnetica che frena il moto e il bilancio energetico.

Regime quasi-statico (dimensioni molto più piccole della lunghezza d’onda), in cui la legge di Faraday, $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, vale esattamente. A ogni passo temporale si risolvono, in modo accoppiato, il circuito ($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$) e il moto ($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$, con $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$), con il metodo del punto medio implicito, che conserva esattamente il bilancio energetico; da qui derivano la legge di Lenz e la conservazione dell’energia, senza alcuna curva preimpostata.

Spira nel campo: il flusso è l’integrale di $B$ sull’area della spira; l’autoinduttanza viene dalla formula di Grover per un rettangolo. Il campo può variare nel tempo (un elettromagnete che segue il valore scelto con costante di tempo di 0,5 s): la fem ha allora anche il termine $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$, e il lavoro della sorgente del campo compare nel bilancio energetico.

Magnete e bobina: il magnete uniformemente magnetizzato equivale a un solenoide con corrente superficiale $K = M = B_r/\mu_0$. Il flusso attraverso la bobina è la somma, per quadratura numerica, delle mutue induttanze tra spire coassiali, date da integrali ellittici completi; le linee di campo si tracciano integrando il campo esatto del cilindro (Derby e Olbert).

Due bobine: $L_1$ con la formula di Nagaoka, $L_2$ con quella di Maxwell per bobina corta e $M$ con la stessa quadratura di integrali ellittici. Le equazioni $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ e $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$, con $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$ e $\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$, sono integrate in modo esatto a ogni passo (esponenziale di matrice). Con l’interruttore aperto, il circuito 1 è modellato da una resistenza di 10 kΩ (la scintilla). Il tempo di questa simulazione scorre al rallentatore, perché le costanti di tempo $L/R$ sono di millisecondi.

LED: bicolore e senza polarità (due LED in antiparallelo, rosso e verde), con un resistore in serie. Ogni giunzione segue l’equazione di Shockley, $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$, più una resistenza interna; la tensione di soglia è di circa 1,8 V (rosso) e 2,0 V (verde) e la luce emessa è proporzionale alla corrente. Il circuito diventa non lineare: nelle simulazioni 1 e 2 la corrente si ottiene a ogni passo risolvendo l’equazione del diodo (l’induttanza è trascurata, perché $L/R$ è molto più piccolo della durata degli impulsi); nella simulazione 3 le equazioni delle bobine sono integrate con il metodo TR-BDF2.

Marco P. M. de Souza