水素原子軌道

水素原子の定常状態にもとづく、水素軌道の確率密度（波動関数の絶対値の 2 乗）の 1D、2D、3D 表示：
$$\psi_{nlm}(r, \theta, \phi) = C_{nlm}\, e^{-r/na_0} \left( \dfrac{2r}{na_0} \right)^l \times$$ $$\times\, L_{n-l-1}^{2l+1} \left( \dfrac{2r}{na_0} \right) \times Y_l^m(\theta, \phi)$$ 1D では、グラフは動径確率密度 P(r) = r²|R(r)|² を示します。これは、原子核から距離 r の位置（方向は問わない）に電子を見いだす確率を与えます。曲線の下の面積は 1 で、三角形は平均値 ⟨r⟩ を示し、曲線は m に依存しません。確率の計算をオンにすると、動かせる 2 本のバーの間で曲線の下の面積が、r₁ と r₂ の間に電子を見いだす確率を与えます。2D では、3 つの主要な平面（x = 0、y = 0、z = 0）のみ使用できます。3D では、色は Ψ の符号を示します。m > 0 の複素関数では、位相 e^imφ は色に反映されず、色は R·Θ の符号を示します。実関数は e^imφ の代わりに cos(mφ) を使い、+m と −m の状態の組み合わせに相当し、化学で使われる軌道のローブを与えます。m = 0 では、両者は一致します。

「量子数」パネルで量子数 n、ℓ、m を調整します。ℓ の有効範囲は n に、m の有効範囲は ℓ に依存します。「グラフ」パネルでは解像度（ピクセル）を変更します。表示領域は軌道の大きさに自動で合わせられます。「平面」パネルで断面を、「プロット」パネルで表示する量（|Ψ|² または |Ψ|）を、「スケール」パネルでカラーマップを選びます。モバイル端末では、1 本の指でタッチしてドラッグすると選択した領域を拡大でき、2 回タップすると元のグラフに戻ります。「ジオメトリ」パネルで 1D、2D、3D を切り替えます。1D では、「確率」パネルで計算をオンにし、グラフ上のバーをドラッグするか範囲を入力します。3D では、ドラッグで回転し、マウスホイールで拡大します。「モード」パネルでは、密度の雲、指定した確率を含む表面、|Ψ|² から抽出した点のいずれかを選びます。「設定」では、切断面で軌道を開いて内部を表示できます。

量子数 n、l、m は、それぞれエネルギー、軌道角運動量、その z 軸方向の射影を決めます。球対称の軌道（l = 0）から p、d、f 軌道に特徴的なローブまで、表示される確率雲の形を直接決定します。

Marco P. M. de Souza