ファラデーの法則

電磁誘導の代表的な場面を扱う3つのシミュレーション。(1) 長方形のループが、モーターに引かれて、またはマウスでドラッグされて、磁場のある領域に入り、出ていきます。(2) コイルと円柱形の磁石が近づき、互いを通り抜けます。(3) スイッチ、可変抵抗器、直流または交流電源で制御されるコイル 1 の電流が、コイル 2 に電流を誘導します。どの場合も、磁束、誘導起電力、電流の向き（レンツの法則）、運動にブレーキをかける磁気力、エネルギーの収支を観察しましょう。

準静的な領域（大きさが波長よりはるかに小さい）を扱い、ファラデーの法則 $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$ が厳密に成り立ちます。各時間ステップで、回路（$L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$）と運動（$m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$、ここで $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$）を連立させ、エネルギー収支を厳密に保つ陰的中点法で解いています。レンツの法則とエネルギー保存は、あらかじめ用意した曲線を使わずに、ここから自然に現れます。

磁場の中のループ：磁束はループの面積にわたる $B$ の積分です。自己インダクタンスは長方形に対するグローバーの公式から求めます。磁場は時間とともに変えられます（選んだ値に時定数 0.5 s で追従する電磁石）。このとき起電力には $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$ の項も加わり、磁場の源がする仕事がエネルギー収支に現れます。

磁石とコイル：一様に磁化した磁石は、表面電流 $K = M = B_r/\mu_0$ のソレノイドと等価です。コイルを貫く磁束は、完全楕円積分で表される同軸ループ間の相互インダクタンスを数値求積で足し合わせたものです。磁力線は円柱の厳密な磁場を積分して描いています（Derby と Olbert）。

2つのコイル：$L_1$ は長岡の公式、$L_2$ は短いコイルに対するマクスウェルの公式、$M$ は同じ楕円積分の求積で求めます。方程式 $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ と $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$（$\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$、$\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$）は、各ステップで厳密に積分されます（行列指数関数）。スイッチが開いているとき、回路 1 は 10 kΩ の抵抗（火花）でモデル化しています。時定数 $L/R$ がミリ秒程度なので、このシミュレーションの時間はスローモーションで進みます。

LED：極性のない2色 LED（赤と緑の LED を逆並列）で、直列に抵抗器が入っています。各接合はショックレーの式 $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$ に内部抵抗を加えたものに従います。順方向電圧は約 1.8 V（赤）と 2.0 V（緑）で、発する光は電流に比例します。回路は非線形になります。シミュレーション 1 と 2 では、各ステップでダイオードの式を解いて電流を求めます（$L/R$ がパルスの長さよりずっと短いので、インダクタンスは無視します）。シミュレーション 3 では、コイルの方程式を TR-BDF2 法で積分します。

Marco P. M. de Souza