フォトンエコー

二準位原子気体におけるフォトンエコー現象のシミュレーションです。キャンバス上の各球は一定の速度、したがって異なるドップラーシフトを持つ原子群を表します。各球のグレースケールは電気双極子の振動位相を表し、$2\pi$ の1周期で白から黒へ変化します。

「光パルス」パネルの「パルス1」／「パルス2」ボタンで、スライダー θ₁／θ₂ によって面積が定められた各光パルスを入射します。「原子系」パネルでは、ドップラー分布の幅 (Δ_D)、時間分解能 (Δt)、デコヒーレンス時間 (T₁₂) を調整します。「グラフ」パネルには、分極の二乗（エコー信号）の時間変化が表示されます。

原子気体は一連の光パルスによって励起され、各パルスの面積は次式で定義されます。 $$ \theta = \frac{\mu_{12}}{\hslash}\int_{-\infty}^{\infty} E_0(t)dt, $$ ここで、$\mu_{12} = \left\langle 1 | e\hat{r} | 2 \right\rangle$ は電子遷移の行列要素、$E_0$ は光パルスの包絡線です。標準的なフォトンエコーの構成では、面積 $\pi/2$ の第1パルスが気体を最大コヒーレンスの状態にします。時間が経つと、ドップラー広がりによるデコヒーレンスによって、半減期 $1/\Delta_D$ で分極がゼロになります。面積 $\pi$ の第2パルスがデコヒーレンスを反転させ、二つの入射パルス間隔と同じ時間が経過した後に、試料が光パルス（エコー）を発生します。分極は次式で計算されます。 $$ P(t) = \eta\mu_{12}\int_{-\infty}^{\infty} \text{Re}\left[\rho_{12}(t)\right] g(\delta)\, d\delta, $$ ここで、$\eta$ は原子密度、$g$ はマクスウェル＝ボルツマン速度分布、$\delta$ はドップラーシフト、$\rho_{12}$ は密度行列の要素の一つであり、その時間発展はリウヴィル＝フォン・ノイマン方程式で与えられます。 $$ \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = -\frac{i}{\hslash}\left[\hat{H}, \hat{\rho}\right]. $$ $\hat{H}$ は電気双極子近似における二準位系のハミルトニアンで、矩形包絡のパルスを用います。

Marco P. M. de Souza