力学的エネルギーの保存

力学的エネルギーの保存を扱うインタラクティブシミュレーションです。最大3段の高さを持つ軌道上で粒子が運動する様子を調べ、摩擦やばねを任意に加えて、運動エネルギー、重力ポテンシャルエネルギー、弾性ポテンシャルエネルギーの変換を観察できます。

この系はラグランジュ力学でモデル化され、粒子は軌道 y(x) に拘束されます。運動エネルギーは曲線の傾きに依存し、T = (1/2)mẋ²[1+y'(x)²] で与えられ、ポテンシャルエネルギーは重力項と弾性項の和になります——後者はヘヴィサイドの階段関数により、物体がばねに接触しているときのみ働きます。オイラー・ラグランジュ方程式からは厳密な解析解を持たない非線形の二階微分方程式が得られ、シミュレーションはこれを位置と速度に関する一階のODEの系として書き直します。

動摩擦は現象論的に導入され、常に速度と逆向きの一定の大きさ μc・m・g を持ち、矩形関数(ヘヴィサイドのΠ関数)によって軌道中央の平らな領域に限定されます。系全体は4次ルンゲ=クッタ法で数値的に積分され、時間刻みは「シミュレーション速度」パラメータに比例します——既定設定での数値誤差はおよそ0.025%です。

Marco P. M. de Souza, Cristiane M. Oliveira, Rhakny P. Peixoto