5つの炭素貯蔵庫（貯蔵量はGtC。CO₂ 1 ppm ≈ 2.124 GtC）と2つの温度層からなるボックスモデルで、4次のルンゲ＝クッタ法（時間刻み0.25年）で積分しています。
炭素。 大気 $C_A$、植生 $C_V$、土壌 $C_S$、表層海洋 $C_M$（深さ100 mまで）と深海。深海は中間層 $C_I$（100〜1000 m）と底層 $C_P$ に分かれます（シミュレーターは和 $C_I + C_P$ を表示します）：
$$\begin{aligned}
\dot C_A &= R_V + R_S + F_{\text{out}} - P\\
&\quad - F_{\text{in}} + E_{\text{fos}} + E_{\text{def}}\\
\dot C_V &= P - R_V - L - E_{\text{def}}\\
\dot C_S &= L - R_S\\
\dot C_M &= F_{\text{in}} - F_{\text{out}} + F_{\text{up}} - F_{\text{down}}\\
\dot C_I &= F_{\text{down}} - F_{\text{up}} + G_{\text{up}} - G_{\text{down}}\\
\dot C_P &= G_{\text{down}} - G_{\text{up}}
\end{aligned}$$
6つの式を足し合わせると $E_{\text{fos}}$ だけが残ります。炭素の総量が増えるのは化石燃料の燃焼によってだけで、森林破壊（$E_{\text{def}}$）は炭素を植生から大気へ移すだけです。
陸の流れ。 光合成 $P$、植物の呼吸 $R_V$、落葉・落枝 $L$、土壌呼吸 $R_S$：
$$\begin{aligned}
P &= P_0\,[1 + \beta \ln(C_A/C_{A0})]\\
R_V &= P/2\\
L &= \tfrac{P_0}{2}\,C_V/C_{V0}\\
R_S &= \tfrac{P_0}{2}\,(C_S/C_{S0})\,Q_{10}^{\,T/10}
\end{aligned}$$
ここで $P_0 = 120$ GtC/年。係数 $Q_{10}^{\,T/10}$ は土壌のフィードバックがオンのときだけ入ります。
海の流れ。 空気との交換（$F_{\text{in}}$、$F_{\text{out}}$）、表層と中間層の混合（$F_{\text{down}}$、$F_{\text{up}}$）、中間層と底層の混合（$G_{\text{down}}$、$G_{\text{up}}$）：
$$\begin{aligned}
F_{\text{in}} &= k\,p_{\text{atm}}\\
F_{\text{out}} &= k\,p_{\text{oc}}\\
p_{\text{oc}} &= p_q(D)\,e^{0{,}0423\,T}\\
F_{\text{down}} &= \frac{C_{I0}}{\tau_{\text{mix}}}\,\frac{C_M}{C_{M0}}\\
F_{\text{up}} &= \frac{C_I}{\tau_{\text{mix}}}\\
G_{\text{down}} &= \frac{C_{P0}}{\tau_{\text{deep}}}\,\frac{C_I}{C_{I0}}\\
G_{\text{up}} &= \frac{C_P}{\tau_{\text{deep}}}
\end{aligned}$$
ここで $k = 80/280$ GtC/年/ppm、$p_{\text{atm}} = C_A/2.124$、$p_{\text{oc}}$ はppm単位、$\tau_{\text{deep}} = 1000$ 年（炭素14による深層水の年齢）。係数 $e^{0.0423\,T}$（1 °Cあたり4.2%）は海のフィードバックがオンのときだけ入ります。
炭酸系の化学。 溶けたCO₂は水と反応し（$\text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O} \rightleftharpoons \text{H}^+ + \text{HCO}_3^- \rightleftharpoons 2\text{H}^+ + \text{CO}_3^{2-}$）、空気に戻るのはCO₂のまま残るわずかな部分だけです。表層の溶存無機炭素は $D = D_0\,C_M/C_{M0}$（$D_0 \approx 1986$ µmol/kg）です。アルカリ度を一定（$A_T = 2300$ µmol/kg）とすると、$[\text{H}^+]$ は次の式から求まります。
$$\begin{aligned}
A_T &= D\,\frac{K_1[\text{H}^+] + 2K_1K_2}{[\text{H}^+]^2 + K_1[\text{H}^+] + K_1K_2}\\
&\quad + \frac{B_T K_B}{K_B + [\text{H}^+]} + \frac{K_w}{[\text{H}^+]} - [\text{H}^+]
\end{aligned}$$
そして $p_q = D\,[\text{H}^+]^2 / \{K_0\,([\text{H}^+]^2 + K_1[\text{H}^+] + K_1K_2)\}$ で、水温18 °C、塩分35の海水の平衡定数を使います。レベル係数 $\xi = (\Delta p_q/p_q)/(\Delta D/D)$ は計算から得られます。産業革命前は約9.5で、海が炭素を吸収するにつれて大きくなり（現在は約11）、1 GtC増えるごとに吸収しにくくなります。レベル係数をオフにすると $p_q = 280\,C_M/C_{M0}$ となります（CO₂がふつうの気体のように溶ける場合、$\xi = 1$）。
排出。 $E_{\text{fos}}$ と $E_{\text{def}}$ は、データのある最後の年までは歴史データに従い、その後は「人間による排出」パネルの値になります（削減シナリオでは減らされます）。「パルス」のシナリオでは、すべての炭素が最初の年に入ります。
気候。 2層のエネルギー収支：表層（大気＋海洋の混合層、偏差 $T$）と深海（$T_p$）：
$$\begin{aligned}
C_s\,\dot T &= \Delta F - \lambda T - \gamma\,(T - T_p)\\
C_p\,\dot T_p &= \gamma\,(T - T_p)
\end{aligned}$$
ここで強制力 $\Delta F = 5.35\,\ln(C_A/C_{A0})$ W/m²、$\lambda = F_{2\times}/S$（$F_{2\times} = 5.35 \ln 2 \approx 3.7$ W/m²、$S$ は気候感度）、$C_s = 0.094\,h$（$h$ はメートル単位）、$C_p = 106$ W·年/(m²·°C)、$\gamma = 0.73$ W/(m²·°C) です。
産業革命前の平衡。 $C_{A0} = 594.7$（280 ppm）、$C_{V0} = 450$、$C_{S0} = 1700$、$C_{M0} = 900$、$C_{I0} = 9000$、$C_{P0} = 28\,000$ GtC、$T = T_p = 0$ のとき、すべての導関数がゼロになります（たとえば大気は60 + 60 + 80を受け取り、120 + 80 GtC/年を失います）。
化石燃料由来の炭素は、すべての貯蔵庫でトレーサーとして追跡しています（それぞれの流れは、出ていく貯蔵庫の化石燃料由来の割合を運びます）。化石燃料の埋蔵量は、推定資源量の桁である5000 GtCから始まります。このモデルは教育用で、CO₂だけを扱います（他の温室効果ガスやエアロゾルは含みません）。毎年の歴史的排出量（化石燃料とセメント、炭酸化による吸収を差し引いたもの、土地利用変化）は、Global Carbon Budget 2025の1850年から2024年までの値に、2025年の予測値を加えたものです。