다섯 개의 탄소 저장소(저장량은 GtC, CO₂ 1 ppm ≈ 2.124 GtC)와 두 개의 온도층으로 된 상자 모형으로, 4차 룽게-쿠타 방법(시간 간격 0.25년)으로 적분합니다.
탄소. 대기 $C_A$, 식생 $C_V$, 토양 $C_S$, 표층 바다 $C_M$(100 m까지)와 심해. 심해는 중간층 $C_I$(100~1000 m)와 바닥층 $C_P$로 나뉩니다(시뮬레이터는 합 $C_I + C_P$를 보여 줍니다):
$$\begin{aligned}
\dot C_A &= R_V + R_S + F_{\text{out}} - P\\
&\quad - F_{\text{in}} + E_{\text{fos}} + E_{\text{def}}\\
\dot C_V &= P - R_V - L - E_{\text{def}}\\
\dot C_S &= L - R_S\\
\dot C_M &= F_{\text{in}} - F_{\text{out}} + F_{\text{up}} - F_{\text{down}}\\
\dot C_I &= F_{\text{down}} - F_{\text{up}} + G_{\text{up}} - G_{\text{down}}\\
\dot C_P &= G_{\text{down}} - G_{\text{up}}
\end{aligned}$$
여섯 식을 모두 더하면 $E_{\text{fos}}$만 남습니다. 탄소의 총량은 화석 연료를 태울 때만 늘어나고, 삼림 벌채($E_{\text{def}}$)는 탄소를 식생에서 대기로 옮길 뿐입니다.
육상 흐름. 광합성 $P$, 식물의 호흡 $R_V$, 낙엽·낙지 $L$, 토양 호흡 $R_S$:
$$\begin{aligned}
P &= P_0\,[1 + \beta \ln(C_A/C_{A0})]\\
R_V &= P/2\\
L &= \tfrac{P_0}{2}\,C_V/C_{V0}\\
R_S &= \tfrac{P_0}{2}\,(C_S/C_{S0})\,Q_{10}^{\,T/10}
\end{aligned}$$
여기서 $P_0 = 120$ GtC/년이고, 인자 $Q_{10}^{\,T/10}$은 토양 되먹임이 켜져 있을 때만 들어갑니다.
해양 흐름. 공기와의 교환($F_{\text{in}}$, $F_{\text{out}}$), 표층과 중간층의 혼합($F_{\text{down}}$, $F_{\text{up}}$), 중간층과 바닥층의 혼합($G_{\text{down}}$, $G_{\text{up}}$):
$$\begin{aligned}
F_{\text{in}} &= k\,p_{\text{atm}}\\
F_{\text{out}} &= k\,p_{\text{oc}}\\
p_{\text{oc}} &= p_q(D)\,e^{0{,}0423\,T}\\
F_{\text{down}} &= \frac{C_{I0}}{\tau_{\text{mix}}}\,\frac{C_M}{C_{M0}}\\
F_{\text{up}} &= \frac{C_I}{\tau_{\text{mix}}}\\
G_{\text{down}} &= \frac{C_{P0}}{\tau_{\text{deep}}}\,\frac{C_I}{C_{I0}}\\
G_{\text{up}} &= \frac{C_P}{\tau_{\text{deep}}}
\end{aligned}$$
여기서 $k = 80/280$ GtC/년/ppm, $p_{\text{atm}} = C_A/2.124$, $p_{\text{oc}}$는 ppm 단위, $\tau_{\text{deep}} = 1000$년(탄소-14로 구한 심층수의 나이)입니다. 인자 $e^{0.0423\,T}$(°C당 4.2%)는 바다 되먹임이 켜져 있을 때만 들어갑니다.
탄산염 화학. 녹아든 CO₂는 물과 반응하며($\text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O} \rightleftharpoons \text{H}^+ + \text{HCO}_3^- \rightleftharpoons 2\text{H}^+ + \text{CO}_3^{2-}$), CO₂로 남는 작은 부분만 공기로 돌아갑니다. 표층의 용존 무기 탄소는 $D = D_0\,C_M/C_{M0}$($D_0 \approx 1986$ µmol/kg)입니다. 알칼리도를 고정하면($A_T = 2300$ µmol/kg) 다음 식에서 $[\text{H}^+]$를 구합니다.
$$\begin{aligned}
A_T &= D\,\frac{K_1[\text{H}^+] + 2K_1K_2}{[\text{H}^+]^2 + K_1[\text{H}^+] + K_1K_2}\\
&\quad + \frac{B_T K_B}{K_B + [\text{H}^+]} + \frac{K_w}{[\text{H}^+]} - [\text{H}^+]
\end{aligned}$$
그다음 $p_q = D\,[\text{H}^+]^2 / \{K_0\,([\text{H}^+]^2 + K_1[\text{H}^+] + K_1K_2)\}$이며, 18 °C, 염분 35인 바닷물의 평형 상수를 씁니다. 르벨 인자 $\xi = (\Delta p_q/p_q)/(\Delta D/D)$는 계산에서 나옵니다. 산업화 이전에는 약 9.5이고, 바다가 탄소를 흡수할수록 커지며(현재 약 11), GtC가 하나 늘 때마다 흡수하기가 더 어려워집니다. 르벨 인자를 끄면 $p_q = 280\,C_M/C_{M0}$입니다(CO₂가 보통 기체처럼 녹는 경우, $\xi = 1$).
배출. $E_{\text{fos}}$와 $E_{\text{def}}$는 자료가 있는 마지막 해까지는 과거 자료를 따르고, 그 뒤에는 “인간의 배출” 패널의 값을 따르며 감축 시나리오에서는 줄어듭니다. “펄스” 시나리오에서는 모든 탄소가 첫해에 들어갑니다.
기후. 2층 에너지 수지: 표층(대기 + 해양 혼합층, 편차 $T$)과 심해($T_p$):
$$\begin{aligned}
C_s\,\dot T &= \Delta F - \lambda T - \gamma\,(T - T_p)\\
C_p\,\dot T_p &= \gamma\,(T - T_p)
\end{aligned}$$
여기서 강제력 $\Delta F = 5.35\,\ln(C_A/C_{A0})$ W/m², $\lambda = F_{2\times}/S$($F_{2\times} = 5.35 \ln 2 \approx 3.7$ W/m², $S$는 기후 민감도), $C_s = 0.094\,h$($h$는 미터 단위), $C_p = 106$ W·년/(m²·°C), $\gamma = 0.73$ W/(m²·°C)입니다.
산업화 이전의 평형. $C_{A0} = 594.7$(280 ppm), $C_{V0} = 450$, $C_{S0} = 1700$, $C_{M0} = 900$, $C_{I0} = 9000$, $C_{P0} = 28\,000$ GtC이고 $T = T_p = 0$일 때 모든 도함수가 0이 됩니다(예를 들어 대기는 60 + 60 + 80을 받고 120 + 80 GtC/년을 잃습니다).
화석 기원 탄소는 모든 저장소에서 추적자로 따라갑니다(각 흐름은 빠져나오는 저장소의 화석 탄소 비율을 실어 나릅니다). 화석 연료 매장량은 추정 자원량의 규모인 5000 GtC에서 시작합니다. 이 모형은 교육용으로, CO₂만 다룹니다(다른 온실 기체와 에어로졸은 없습니다). 연간 과거 배출량(화석 연료와 시멘트, 탄산화 흡수 제외; 토지 이용 변화)은 Global Carbon Budget 2025의 1850~2024년 값에 2025년 전망치를 더한 것입니다.