패러데이 법칙

전자기 유도의 대표적인 상황을 다루는 세 가지 시뮬레이션. (1) 직사각형 도선 고리가 모터에 끌려가거나 마우스로 끌려서 자기장이 있는 영역에 들어갔다 나옵니다. (2) 코일과 원기둥 자석이 서로 다가가 서로를 통과합니다. (3) 스위치, 가변 저항기, 직류 또는 교류 전원으로 조절되는 코일 1의 전류가 코일 2에 전류를 유도합니다. 모든 경우에 자기 선속, 유도 기전력, 전류의 방향(렌츠 법칙), 운동에 제동을 거는 자기력, 에너지 수지를 관찰해 보세요.

준정적 영역(크기가 파장보다 훨씬 작음)으로, 패러데이 법칙 $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$가 정확히 성립합니다. 매 시간 단계마다 회로($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$)와 운동($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$, 여기서 $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$)을 연립하여, 에너지 수지를 정확히 보존하는 암시적 중점법으로 풉니다. 렌츠 법칙과 에너지 보존은 미리 정해 둔 곡선 없이 여기서 저절로 나옵니다.

자기장 속의 고리: 자기 선속은 고리 넓이에 대한 $B$의 적분이며, 자체 인덕턴스는 직사각형에 대한 그로버 공식으로 구합니다. 자기장은 시간에 따라 변할 수 있습니다(선택한 값을 시간 상수 0.5 s로 따라가는 전자석). 이때 기전력에는 $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$ 항도 더해지고, 자기장 원천이 한 일이 에너지 수지에 나타납니다.

자석과 코일: 균일하게 자화된 자석은 표면 전류 $K = M = B_r/\mu_0$인 솔레노이드와 같습니다. 코일을 지나는 자기 선속은 완전 타원 적분으로 주어지는 동축 고리 사이의 상호 인덕턴스를 수치 구적법으로 합한 것입니다. 자기력선은 원기둥의 정확한 자기장을 적분하여 그립니다(Derby와 Olbert).

두 코일: $L_1$은 나가오카 공식, $L_2$는 짧은 코일에 대한 맥스웰 공식, $M$은 같은 타원 적분 구적법으로 구합니다. 방정식 $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$와 $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$($\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$, $\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$)는 매 단계마다 정확히 적분합니다(행렬 지수 함수). 스위치가 열려 있을 때 회로 1은 10 kΩ의 저항(불꽃)으로 모형화합니다. 시간 상수 $L/R$이 밀리초 정도이므로, 이 시뮬레이션의 시간은 느린 동작으로 흐릅니다.

LED: 극성이 없는 2색 LED(빨강과 초록 LED를 역병렬 연결)이며, 저항기가 직렬로 연결되어 있습니다. 각 접합은 쇼클리 방정식 $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$에 내부 저항을 더한 것을 따릅니다. 순방향 전압은 약 1.8 V(빨강)와 2.0 V(초록)이고, 내는 빛은 전류에 비례합니다. 회로는 비선형이 됩니다. 시뮬레이션 1과 2에서는 매 단계마다 다이오드 방정식을 풀어 전류를 구하고($L/R$이 펄스 지속 시간보다 훨씬 짧으므로 인덕턴스는 무시), 시뮬레이션 3에서는 코일 방정식을 TR-BDF2 방법으로 적분합니다.

Marco P. M. de Souza