Брахистохроне

Этот симулятор позволяет численно исследовать классическую задачу брахистохрона: определить путь, по которому частица, подвергающаяся только равномерной гравитации и начиная из покоя, занимает наименьшее время, чтобы добраться из точки A до точки B.

Самая короткая траектория — циклоид, описываемый параметрическими уравнениями $$x(\theta)=R(\theta-\sin\theta)$$ и $$y(\theta)=R(1-\cos\theta),$$ где $R$ является генерирующим лучом и $\theta$ описывает движение вдоль кривой.

Перетащите точку B и зелёные контрольные точки 1 и 2, чтобы изменить траекторию. Включите «Брахистохрон» для отображения теоретического циклоида с самым коротким временем и используйте примеры для сравнения линии, приближения брахистохромы и приближения таутохрона.

Кривая является решением вариационной задачи: среди всех возможных траекторий, соединяющих две точки, циклоид — тот, который минимизирует время перемещения — даже быстрее, чем прямая, которая лишь минимизирует расстояние. Симуляция позволяет сравнивать время падения вдоль циклоида с временем других кандидатов кривых.

Marco P. M. de Souza