Закон Фарадея

Три симуляции классических ситуаций электромагнитной индукции. (1) Прямоугольная рамка входит в область с магнитным полем и выходит из неё; её тянет мотор или вы перетаскиваете её мышью. (2) Катушка и цилиндрический магнит сближаются и проходят друг сквозь друга. (3) Ток в катушке 1, управляемый ключом, реостатом и источником постоянного или переменного тока, наводит ток в катушке 2. Во всех случаях наблюдайте магнитный поток, ЭДС индукции, направление тока (правило Ленца), магнитную силу, тормозящую движение, и баланс энергии.

Квазистационарный режим (размеры много меньше длины волны), в котором закон Фарадея, $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, выполняется точно. На каждом шаге по времени совместно решаются уравнения цепи ($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$) и движения ($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$, где $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$) неявным методом средней точки, который точно сохраняет баланс энергии; отсюда сами собой получаются правило Ленца и закон сохранения энергии, без каких-либо заранее заданных кривых.

Рамка в поле: поток — это интеграл $B$ по площади рамки; собственная индуктивность берётся из формулы Гровера для прямоугольника. Поле может меняться со временем (электромагнит, который следует за выбранным значением с постоянной времени 0,5 с): тогда в ЭДС есть ещё слагаемое $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$, а работа источника поля входит в баланс энергии.

Магнит и катушка: равномерно намагниченный магнит эквивалентен соленоиду с поверхностным током $K = M = B_r/\mu_0$. Поток через катушку — это сумма, полученная численной квадратурой, взаимных индуктивностей коаксиальных витков, выраженных через полные эллиптические интегралы; линии поля строятся интегрированием точного поля цилиндра (Дерби и Ольберт).

Две катушки: $L_1$ по формуле Нагаоки, $L_2$ по формуле Максвелла для короткой катушки, а $M$ той же квадратурой эллиптических интегралов. Уравнения $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ и $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$, где $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$ и $\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$, на каждом шаге интегрируются точно (матричная экспонента). При разомкнутом ключе цепь 1 моделируется сопротивлением 10 кОм (искра). Время в этой симуляции идёт в замедленном режиме, так как постоянные времени $L/R$ составляют миллисекунды.

Светодиод: двухцветный, без полярности (два встречно-параллельных светодиода, красный и зелёный), с последовательным резистором. Каждый переход подчиняется уравнению Шокли, $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$, плюс внутреннее сопротивление; прямое напряжение — около 1,8 В (красный) и 2,0 В (зелёный), а излучаемый свет пропорционален току. Цепь становится нелинейной: в симуляциях 1 и 2 ток на каждом шаге находится решением уравнения диода (индуктивностью пренебрегают, так как $L/R$ намного меньше длительности импульсов); в симуляции 3 уравнения катушек интегрируются методом TR-BDF2.

Marco P. M. de Souza