Световые лучи типа Лагерра–Гаусса являются точными решениями уравнения Гельмгольца в параксиальном приближении, выраженными в цилиндрических координатах. Эти лучи характеризуются наличием орбитального углового момента (ОУМ), связанного с азимутальным индексом l. Когда l ≠ 0, фаза поля изменяется как $ e^{i l \varphi} $, создавая спиральную структуру и оптический вихрь в центре луча, где интенсивность равна нулю. Симулятор «Световые лучи» позволяет визуализировать эти структуры и изучать их пространственные свойства и интерференцию.

В приложении можно построить сечение (плоскость x–y) одного или двух лучей Лагерра–Гаусса с азимутальным индексом $l$, изменяющимся в диапазоне от −3 до 3. Для двух одновременных лучей программа явно отображает интерференционную картину, возникающую в результате когерентной суперпозиции полей. Таким образом можно исследовать, как орбитальный угловой момент, пространственные смещения и разности фаз влияют на наблюдаемое распределение интенсивности.

В параксиальной форме комплексное электрическое поле моды Лагерра–Гаусса $ ext{LG}_{p}^{l} $ можно записать как:

\[ E_{p,l}(r,\varphi,z) = E_0 \, \frac{W_0}{W(z)} \left( \frac{\sqrt{2}\,r}{W(z)} \right)^{|l|} L_{p}^{|l|}\!\left( \frac{2r^2}{W^2(z)} \right) \exp\!\left( -\frac{r^2}{W^2(z)} \right) \\ imes \exp\!\left( -i k \frac{r^2}{2R(z)} \right) imes \exp\!\left( i l \varphi \right) \exp\!\left( -i (2p+|l|+1)\,\zeta(z) \right), \]

где $L_{p}^{|l|}$ — ассоциированные полиномы Лагерра, $W(z)$ — радиус луча, $R(z)$ — радиус кривизны волнового фронта и $\zeta(z)$ — фаза Гуи. Радиальный индекс $p\ge 0$ определяет количество радиальных колец в интенсивности, а азимутальный индекс $l$ задаёт спиральную структуру фазы и орбитальный угловой момент фотона, равный $l\hbar$.

Тренажёр позволяет напрямую управлять основными физическими параметрами лучей:

• Центральное положение $(x_c, y_c)$;
• Ширина луча $W$;
• Амплитуда электрического поля $E$;
• Модальные индексы $l$ и $p$;
• Радиус кривизны $R$;
• Волновое число $k$;
• Компоненты волнового вектора в направлениях $x$ и $y$, $k_x$ и $k_y$.

С помощью этих элементов управления можно изучать поперечные смещения, наклоны луча, эффекты изгиба волнового фронта и картины интерференции между несколькими модами.