Esta simulação modela o fenômeno do eco de fótons em um gás de átomos. Cada bolinha representa um grupo de átomos com uma certa velocidade. Sabemos que cada grupo interage de forma diferente com os pulsos laser, devido ao deslocamento Doppler da luz.

Uma vez excitado, cada átomo se comporta como um dipolo elétrico, oscilando em uma dada frequência. Os ciclos de oscilação são representados na simulação pela escala de cinza, onde do branco ao preto temos uma variação de $2\pi$ no ciclo.

O gás de átomos é excitado por uma sequência de pulsos laser com área definida por

$$ \theta = \dfrac{\mu_{12}}{\hslash}\int_{-\infty}^{\infty} E_0(t)dt, $$

onde $\mu_{12} = \left\langle 1 | e\hat{r} | 2 \right\rangle$ é o elemento de matriz da transição eletrônica e $E_0$ é a envoltória do pulso de luz.

Na configuração padrão do eco de fótons, o primeiro pulso, de área $\pi/2$, deixa o gás com uma coerência máxima. Com o passar do tempo, a descoerência devido ao alargamento Doppler acaba por zerar a polarização em um tempo de meia vida igual a $1/\Delta_D$, onde $\Delta_D$ é a largura Doppler.

O segundo pulso, de área $\pi$, reverte a descoerência, fazendo a amostra gerar um pulso após um tempo igual ao intervalo de tempo dos pulsos incidentes.

O cálculo da polarização é dado por

$$ P(t) = \eta\mu_{12}\int_{-\infty}^{\infty} \text{Re} [\rho_{12}(t)]g(\delta)d(\delta), $$

onde $\eta$ é a densidade atômica, $g$ é a distribuição de velocidades de Maxwell-Bolztamnn, $\delta$ é o deslocamento Doppler e $\rho_{12}$ é um dos elementos da matriz de densidade cuja evolução é calculada pela solução da equação de Liouville-von Neumann:

$$ \dfrac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = -\dfrac{i}{\hslash} \left[ \hat{H}, \hat{\rho} \right]. $$

$\hat{H}$ é o hamiltoniano de um sistema de dois níveis na aproximação de dipolo elétrico. Para simplificar os cálculos, supomos pulsos com envoltória retangular, que simplificam enormemente a solução das equações de Bloch praticamente sem alterar a evolução da polarização.

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