Lei de Faraday

Três simulações de situações clássicas de indução eletromagnética. (1) Uma espira retangular entra e sai de uma região com campo magnético, puxada por um motor ou arrastada com o mouse. (2) Uma bobina e um ímã cilíndrico se aproximam e se atravessam. (3) A corrente na bobina 1, controlada por uma chave, um reostato e uma fonte contínua ou alternada, induz corrente na bobina 2. Em todos, observe o fluxo magnético, a força eletromotriz induzida, o sentido da corrente (lei de Lenz), a força magnética que freia o movimento e o balanço de energia.

Regime quase-estático (dimensões muito menores que o comprimento de onda), em que a lei de Faraday, $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$, vale exatamente. A cada passo de tempo são resolvidos, de forma acoplada, o circuito ($L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$) e o movimento ($m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$, com $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$), pelo método do ponto médio implícito, que preserva exatamente o balanço de energia; daí saem a lei de Lenz e a conservação de energia, sem nenhuma curva pronta.

Espira no campo: o fluxo é a integral de $B$ sobre a área da espira; a autoindutância vem da fórmula de Grover para um retângulo. O campo pode variar no tempo (um eletroímã que acompanha o valor escolhido com constante de tempo de 0,5 s): a fem tem então também a parcela $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$, e o trabalho da fonte do campo aparece no balanço de energia.

Ímã e bobina: o ímã uniformemente magnetizado equivale a um solenoide com corrente superficial $K = M = B_r/\mu_0$. O fluxo através da bobina é a soma, por quadratura numérica, das indutâncias mútuas entre espiras coaxiais, dadas por integrais elípticas completas; as linhas de campo são traçadas integrando o campo exato do cilindro (Derby e Olbert).

Duas bobinas: $L_1$ pela fórmula de Nagaoka, $L_2$ pela de Maxwell para bobina curta e $M$ pela mesma quadratura de integrais elípticas. As equações $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ e $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$, com $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$ e $\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$, são integradas de forma exata em cada passo (exponencial de matriz). Com a chave aberta, o circuito 1 é modelado por uma resistência de 10 kΩ (a faísca). O tempo desta simulação corre em câmera lenta, pois as constantes de tempo $L/R$ são de milissegundos.

LED: bicolor e sem polaridade (dois LEDs em antiparalelo, vermelho e verde), com um resistor em série. Cada junção segue a equação de Shockley, $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$, mais uma resistência interna; a tensão de condução é de cerca de 1,8 V (vermelho) e 2,0 V (verde) e a luz emitida é proporcional à corrente. O circuito fica não linear: nas simulações 1 e 2 a corrente é obtida a cada passo resolvendo a equação do diodo (a indutância é desprezada, pois $L/R$ fica muito menor que a duração dos pulsos); na simulação 3 as equações das bobinas são integradas pelo método TR-BDF2.

Marco P. M. de Souza