โฟตอนเอคโค

การจำลองปรากฏการณ์โฟตอนเอคโคในก๊าซของอะตอมสองระดับ แต่ละจุดบนผืนภาพแทนกลุ่มอะตอมที่มีความเร็วเฉพาะ (จึงมีการเลื่อนดอปเพลอร์ต่างกัน) ระดับสีเทาของจุดใช้แทนเฟสการสั่นของไดโพลไฟฟ้า จากสีขาวถึงสีดำตลอดหนึ่งรอบ $2\pi$

ปุ่ม “พัลส์ 1” และ “พัลส์ 2” ในแผง “พัลส์แสง” ใช้กระตุ้นพัลส์แสงแต่ละพัลส์ โดยกำหนดพื้นที่ด้วยแถบเลื่อน θ₁/θ₂ แผง “ระบบอะตอม” ปรับความกว้างการแจกแจงดอปเพลอร์ (Δ_D) ความละเอียดเชิงเวลา (Δt) และเวลาสูญเสียความสอดคล้อง (T₁₂) ส่วนแผง “กราฟ” แสดงกำลังสองของโพลาไรเซชัน (สัญญาณเอคโค) ตามเวลา

ก๊าซอะตอมถูกกระตุ้นด้วยลำดับพัลส์แสง ซึ่งพื้นที่ของแต่ละพัลส์กำหนดโดย $$ \theta = \frac{\mu_{12}}{\hslash}\int_{-\infty}^{\infty} E_0(t)dt, $$ โดยที่ $\mu_{12} = \left\langle 1 | e\hat{r} | 2 \right\rangle$ คือสมาชิกเมทริกซ์ของการเปลี่ยนระดับอิเล็กทรอนิกส์ และ $E_0$ คือซองของพัลส์แสง ในการจัดวางโฟตอนเอคโคมาตรฐาน พัลส์แรกซึ่งมีพื้นที่ $\pi/2$ ทำให้ก๊าซมีความสอดคล้องสูงสุด เมื่อเวลาผ่านไป การสูญเสียความสอดคล้องจากการขยายดอปเพลอร์ทำให้โพลาไรเซชันลดลงเป็นศูนย์ด้วยครึ่งชีวิต $1/\Delta_D$ พัลส์ที่สองซึ่งมีพื้นที่ $\pi$ จะย้อนการคลาดเฟส ทำให้ตัวอย่างปล่อยพัลส์แสง (เอคโค) หลังจากช่วงเวลาที่เท่ากับช่วงระหว่างพัลส์ตกกระทบทั้งสอง โพลาไรเซชันคำนวณได้เป็น $$ P(t) = \eta\mu_{12}\int_{-\infty}^{\infty} \text{Re}\left[\rho_{12}(t)\right] g(\delta)\, d\delta, $$ โดยที่ $\eta$ คือความหนาแน่นอะตอม $g$ คือการแจกแจงความเร็วแบบแมกซ์เวลล์–โบลต์ซมันน์ $\delta$ คือการเลื่อนดอปเพลอร์ และ $\rho_{12}$ คือสมาชิกของเมทริกซ์ความหนาแน่น ซึ่งวิวัฒนาการเป็นไปตามสมการลิอูวิลล์–ฟอน นอยมันน์ $$ \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = -\frac{i}{\hslash}\left[\hat{H}, \hat{\rho}\right]. $$ $\hat{H}$ คือแฮมิลโทเนียนของระบบสองระดับในการประมาณแบบไดโพลไฟฟ้า โดยใช้พัลส์ที่มีซองรูปสี่เหลี่ยม

Marco P. M. de Souza