Mô hình hộp với năm bể chứa carbon (trữ lượng tính bằng GtC; 1 ppm CO₂ ≈ 2,124 GtC) và hai lớp nhiệt độ, được tích phân bằng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 (bước thời gian 0,25 năm).
Carbon. Khí quyển $C_A$, thảm thực vật $C_V$, đất $C_S$, đại dương bề mặt $C_M$ (đến 100 m) và đại dương sâu, chia thành lớp trung gian $C_I$ (100 đến 1000 m) và đáy $C_P$ (mô phỏng hiển thị tổng $C_I + C_P$):
$$\begin{aligned}
\dot C_A &= R_V + R_S + F_{\text{out}} - P\\
&\quad - F_{\text{in}} + E_{\text{fos}} + E_{\text{def}}\\
\dot C_V &= P - R_V - L - E_{\text{def}}\\
\dot C_S &= L - R_S\\
\dot C_M &= F_{\text{in}} - F_{\text{out}} + F_{\text{up}} - F_{\text{down}}\\
\dot C_I &= F_{\text{down}} - F_{\text{up}} + G_{\text{up}} - G_{\text{down}}\\
\dot C_P &= G_{\text{down}} - G_{\text{up}}
\end{aligned}$$
Cộng sáu phương trình lại thì chỉ còn $E_{\text{fos}}$: tổng lượng carbon chỉ tăng do đốt nhiên liệu hóa thạch; phá rừng ($E_{\text{def}}$) chuyển carbon từ thảm thực vật vào khí quyển.
Các dòng trên đất liền. Quang hợp $P$, hô hấp của thực vật $R_V$, rụng lá và cành $L$ và hô hấp của đất $R_S$:
$$\begin{aligned}
P &= P_0\,[1 + \beta \ln(C_A/C_{A0})]\\
R_V &= P/2\\
L &= \tfrac{P_0}{2}\,C_V/C_{V0}\\
R_S &= \tfrac{P_0}{2}\,(C_S/C_{S0})\,Q_{10}^{\,T/10}
\end{aligned}$$
với $P_0 = 120$ GtC/năm; hệ số $Q_{10}^{\,T/10}$ chỉ áp dụng khi bật phản hồi của đất.
Các dòng đại dương. Trao đổi với không khí ($F_{\text{in}}$, $F_{\text{out}}$), xáo trộn bề mặt với lớp trung gian ($F_{\text{down}}$, $F_{\text{up}}$) và xáo trộn lớp trung gian với đáy ($G_{\text{down}}$, $G_{\text{up}}$):
$$\begin{aligned}
F_{\text{in}} &= k\,p_{\text{atm}}\\
F_{\text{out}} &= k\,p_{\text{oc}}\\
p_{\text{oc}} &= p_q(D)\,e^{0{,}0423\,T}\\
F_{\text{down}} &= \frac{C_{I0}}{\tau_{\text{mix}}}\,\frac{C_M}{C_{M0}}\\
F_{\text{up}} &= \frac{C_I}{\tau_{\text{mix}}}\\
G_{\text{down}} &= \frac{C_{P0}}{\tau_{\text{deep}}}\,\frac{C_I}{C_{I0}}\\
G_{\text{up}} &= \frac{C_P}{\tau_{\text{deep}}}
\end{aligned}$$
với $k = 80/280$ GtC/năm cho mỗi ppm, $p_{\text{atm}} = C_A/2{,}124$ và $p_{\text{oc}}$ tính bằng ppm, và $\tau_{\text{deep}} = 1000$ năm (tuổi của nước sâu theo carbon-14). Hệ số $e^{0{,}0423\,T}$ (4,2% mỗi °C) chỉ áp dụng khi bật phản hồi của đại dương.
Hóa học carbonat. CO₂ hòa tan phản ứng với nước ($\text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O} \rightleftharpoons \text{H}^+ + \text{HCO}_3^- \rightleftharpoons 2\text{H}^+ + \text{CO}_3^{2-}$), và chỉ phần nhỏ còn ở dạng CO₂ mới trở lại không khí. Carbon vô cơ hòa tan ở bề mặt là $D = D_0\,C_M/C_{M0}$ ($D_0 \approx 1986$ µmol/kg). Với độ kiềm cố định ($A_T = 2300$ µmol/kg), $[\text{H}^+]$ được tìm từ
$$\begin{aligned}
A_T &= D\,\frac{K_1[\text{H}^+] + 2K_1K_2}{[\text{H}^+]^2 + K_1[\text{H}^+] + K_1K_2}\\
&\quad + \frac{B_T K_B}{K_B + [\text{H}^+]} + \frac{K_w}{[\text{H}^+]} - [\text{H}^+]
\end{aligned}$$
rồi $p_q = D\,[\text{H}^+]^2 / \{K_0\,([\text{H}^+]^2 + K_1[\text{H}^+] + K_1K_2)\}$, với các hằng số cân bằng của nước biển ở 18 °C và độ mặn 35. Hệ số Revelle, $\xi = (\Delta p_q/p_q)/(\Delta D/D)$, có được từ phép tính: ≈ 9,5 ở thời kỳ tiền công nghiệp, và tăng dần khi đại dương hấp thụ carbon (≈ 11 hiện nay); mỗi GtC tăng thêm càng khó hấp thụ. Khi tắt hệ số Revelle, $p_q = 280\,C_M/C_{M0}$ (CO₂ sẽ hòa tan như một chất khí bình thường, $\xi = 1$).
Phát thải. $E_{\text{fos}}$ và $E_{\text{def}}$ theo dữ liệu lịch sử đến năm cuối cùng có dữ liệu; sau đó theo các giá trị của bảng “Phát thải của con người”, được giảm trong các kịch bản cắt giảm. Trong kịch bản “Xung”, toàn bộ carbon đi vào trong năm đầu tiên.
Khí hậu. Cân bằng năng lượng hai lớp: bề mặt (khí quyển + lớp xáo trộn đại dương, dị thường $T$) và đại dương sâu ($T_p$):
$$\begin{aligned}
C_s\,\dot T &= \Delta F - \lambda T - \gamma\,(T - T_p)\\
C_p\,\dot T_p &= \gamma\,(T - T_p)
\end{aligned}$$
với cưỡng bức $\Delta F = 5{,}35\,\ln(C_A/C_{A0})$ W/m², $\lambda = F_{2\times}/S$ ($F_{2\times} = 5{,}35 \ln 2 \approx 3{,}7$ W/m² và $S$ là độ nhạy khí hậu), $C_s = 0{,}094\,h$ ($h$ tính bằng mét), $C_p = 106$ W·năm/(m²·°C) và $\gamma = 0{,}73$ W/(m²·°C).
Cân bằng tiền công nghiệp. $C_{A0} = 594{,}7$ (280 ppm), $C_{V0} = 450$, $C_{S0} = 1700$, $C_{M0} = 900$, $C_{I0} = 9000$ và $C_{P0} = 28\,000$ GtC, với $T = T_p = 0$: mọi đạo hàm đều bằng 0 (ví dụ, khí quyển nhận 60 + 60 + 80 và mất 120 + 80 GtC/năm).
Carbon có nguồn gốc hóa thạch được theo dõi như một chất đánh dấu trong mọi bể chứa (mỗi dòng mang theo phần hóa thạch của bể chứa mà nó đi ra). Trữ lượng hóa thạch bắt đầu từ 5000 GtC, cỡ bậc của các nguồn tài nguyên ước tính. Mô hình mang tính giáo dục: chỉ xét CO₂ (không có các khí nhà kính khác và không có sol khí). Lượng phát thải lịch sử hằng năm (nhiên liệu hóa thạch và xi măng, trừ đi quá trình carbonat hóa; thay đổi sử dụng đất) lấy từ Global Carbon Budget 2025, từ 1850 đến 2024, cộng với dự báo cho năm 2025.