法拉第定律

三个电磁感应经典情境的模拟。(1) 一个矩形线框在电动机牵引下或用鼠标拖动，进入并离开一个有磁场的区域。(2) 一个线圈和一个圆柱形磁铁相互靠近并彼此穿过。(3) 由开关、滑动变阻器和直流或交流电源控制的线圈 1 中的电流，在线圈 2 中产生感应电流。在所有情境中，观察磁通量、感应电动势、电流方向（楞次定律）、阻碍运动的磁场力以及能量守恒关系。

准静态情形（尺寸远小于波长），此时法拉第定律 $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$ 严格成立。每个时间步都用隐式中点法联立求解电路方程（$L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = \varepsilon$）和运动方程（$m\,\dfrac{dv}{dt} = F_{ext} + F_{mag}$，其中 $F_{mag} = i\oint d\vec\ell\times\vec B$），该方法严格保持能量守恒；楞次定律和能量守恒由此自然得出，没有使用任何预设曲线。

磁场中的线框：磁通量是 $B$ 在线框面积上的积分；自感由矩形的格罗弗公式给出。磁场可以随时间变化（一个以 0.5 s 时间常数跟随设定值的电磁铁）：此时电动势还包含 $-N A\,\dfrac{dB}{dt}$ 项，磁场源所做的功出现在能量关系中。

磁铁和线圈：均匀磁化的磁铁等效于面电流为 $K = M = B_r/\mu_0$ 的螺线管。穿过线圈的磁通量是同轴线圈之间的互感（由完全椭圆积分给出）通过数值求积相加的结果；磁感线通过对圆柱体的精确磁场积分绘出（Derby 和 Olbert）。

两个线圈：$L_1$ 由长冈公式求出，$L_2$ 由短线圈的麦克斯韦公式求出，$M$ 由同样的椭圆积分求积求出。方程 $V = R_1 i_1 + \dfrac{d\lambda_1}{dt}$ 和 $0 = R_2 i_2 + \dfrac{d\lambda_2}{dt}$（其中 $\lambda_1 = L_1 i_1 + M i_2$，$\lambda_2 = M i_1 + L_2 i_2$）在每一步都精确积分（矩阵指数）。开关断开时，电路 1 用 10 kΩ 的电阻（电火花）来模拟。由于时间常数 $L/R$ 只有几毫秒，这个模拟中的时间以慢动作进行。

LED：双色且无极性（红、绿两个 LED 反向并联），并串联一个电阻。每个 PN 结遵循肖克利方程 $i = I_s\,(e^{u/nV_T} - 1)$，再加上一个内阻；导通电压约为 1.8 V（红）和 2.0 V（绿），发出的光与电流成正比。电路因此变为非线性：在模拟 1 和 2 中，每一步通过求解二极管方程得到电流（忽略电感，因为 $L/R$ 远小于脉冲持续时间）；在模拟 3 中，线圈方程用 TR-BDF2 方法积分。

Marco P. M. de Souza